这个寒假静下心来仔细研读了章才岔老师主编的《初高中衔接教材》，收获颇丰。理清思路，总结如下：

1.顺应：正视现状，梳理内容，从容应对。

同一数学知识系统在初高中阶段有不同的要求，这是由初高中的教育方向决定的。初中阶段的教育是义务教育，偏重于基础知识的普及；而高中的阶段教育是面向高校输送高一级人才，参加高考这类选拔性的考试。因此，高中阶段的数学知识点，在难度上、内容量上就会与初中阶段知识点拉开比较大的距离。

仔细研读初高中教材，笔者发现有以下几个方面有待衔接。

数与式方面：“二次根式分母有理化”初中不要求掌握，但高中是解函数、不等式常用的代数基础；“多个绝对值的化简及绝对值中含参数的化简”、“立方和差公式的应用”初高中课本基本没有涉及，但高中分式不等式、高次不等式和含绝对值的不等式都有用到；“因式分解”初中只要求提取公因式和公式法，但高中需要二次项系数不为1、含字母系数的十字相乘法、三次或高次多项式用于解方程、分组分解法、不等式、函数、数列、解析几何等。

基本函数方面：“一次函数”初中只需掌握一种表达式的待定系数法，高中侧重是斜率和倾斜角的几何意义、图像、性质、它的三种表达形式；“二次函数”的作简图、求值域、判断单调区间、研究区间上函数最值等都是高中数学的基本题型，高中还特别加强对函数图像的理解及二次函数、二次不等式与二次方程三者间的联系与转化，在课本之外还拓展对勾函数、复合函数、分段函数。

方程与方程组方面：“一元二次方程根的判别式、韦达定理、根与系数的关系”初中是选学，高中出现多种变形，是代数运用的基础。

平面几何方面：三角形“四心”的定义及简单性质初中已学，高中还结合射影定理、相交弦定理、角平分线定理等广泛运用于平面几何与立体几何，但这些定理的证明高中课本未出现；“图像变换”初中仅止于两个函数关于原点、坐标轴对称，但高中需触类旁通至关于任意点、任意直线对称问题。

通过以上整理，我们理顺了初高中知识点衔接的真空地带，后续就需要找准衔接教学的时间节点，设计教学方法，才能从容应对。

2.顺导：胸有高中，立足初中，因势引导。

这些需衔接的内容是应该落在哪个教学时间节点，即融入到初中教学合适还是高中教学更妥，也是需要深入分析的重要方面。如果我们能够抓住延拓的时机因势利导，制定针对性的教学设计，必能帮助初三毕业生顺利过渡到高中学习。

案例1:十字相乘

一元二次方程的解法，在初中教学范围内比较强调配方法，而高中阶段解一元二次不等式若用配方法求根，过程就比较繁琐。所以初中阶段这部分内容的习题课教学时，就可以因势顺导，渗透因式分解的“十字相乘”法。在学生掌握初中教材的前提下，教师可以适当增补二次项系数不是1、含参数的二次三项式、整体思想的“十字相乘”法等变式题型，从而打开学生解题的视野。

分解因式：（1）x²－3x＋2；（2）-3y²+8y-4；（3）2x²－xy-15y²；

（4）x²－（a+b）xy＋aby²； （5）（x²-2x）²－7（x²-2x）＋12；

通过第（1）题巩固最基础的十字相乘法；第（2）题拓展二次项系数不为1或为负的处理方法；第（3）题引入二次三项式；第（4）题系数是字母；第（5）题整体思想。这样顺势引导既巩固了初中知识，又为高中解方程、不等式、画一元二次函数简图等奠定了更好的基础。

案例2:韦达定理

韦达定理在初中阶段是选学内容，一般教学时只推导公式，不做深入拓展和运用，但在高中阶段大量运用于二次函数、不等式和根的判别式及根和系数的关系，因此笔者认为在初中该选学课教学时，可以稍加深入、顺导启发，加强学生对这部分内容的运用程度。

（1）已知方程5x²+kx－6＝0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．

（2）求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x²－7x－1＝0各根的相反数．

第（1）题属初中常见题型，比起“先代根求k，再解出另一个根”的方法，韦达定理就显现出其魅力所在了。第（2）题如果先求两根，计算量较大，此时如顺导启发，教学生运用韦达定理解题，定会收到学生的赞美。而这种解题思路，从难度上看也是初中生容易接受的程度。因此，初中阶段韦达定理的选学课上，我们可以顺势让学生适时体会该定理的耀眼之处，也可以在两根变形的整理上稍作拓展，以衔接高中阶段对该定理的运用方式。

案例3：角平分线定理、射影定理

角平分线定理2、射影定理（欧几里得定理），这两个定理虽然在初高中课本中都没有给出证明过程，也不要求学生掌握证明原理，但如果学生在初中阶段就学会将这两个定理运用于解三角形和综合题求线段长度，则会大大加速运算过程；同时在高中阶段的必修2、选修2-1中的立体几何，选修2-1中的解析几何中，也经常用到这两个定理。因此在初中阶段的教学中，就可以在适当时机给学生证明定理，顺拓运用。

（1）已知如图，AD平分∠BAC，AB=3cm，AC=2cm，

求 ①BD:CD; ②S_△ABC:S_△ADC.

（2）在△ABC中，CD⊥AB，DE⊥AC，DF⊥BC，

垂足分别为D，E，F，求证∠CAB=∠CFE.

通过研究课本发现初中在学完角平分线定理1或者平行线截割定理后都可以拓展角平分线定理2，配以第（1）题应用；在学完相似章节，总结各种“相似模型”时对于“母子型”可以马上顺势推导出射影定理，配以第（2）题应用。后续还可以引导学生对求线段长的各项定理分析总结，给高中学习做好铺垫。

案例4:“12345”模型

初中阶段三边为3k，4k，5k的直角三角形其锐角半角正切值是数字比较简单的有理数，所以用“12345”模型解三角形在初中几何题中被广泛运用,而这个模型就是利用高中必修内容“两角和差的正切公式”得到的一种特殊情况。所以笔者认为在初中阶段可以顺势渗透两角和差和二倍角的正切公式，让学生理解其一般性运用，打破数据“345”的局限。

如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，CF垂直直径BD于点E，交边AB于点F.

（1）求证:∠BFC=∠ABC；

（2）若⊙O的半径为5，CF=6，求AF长.

此例题来源于19年温州某校模拟卷，第（2）用问“12345”模型解题会方便很多。笔者建议在九年级三角函数章节之后就可以给学生渗透两角和差的正切公式，继而推导正切二倍角公式，让学生体会公式对于一般正切值的应用。如果第（2）题改变条件半径和CF的数值，使得∠D的正切不是时就可以顺势拓展为“已知任意正切值的角都可以推出其半角正切值”的一般性应用，这样既可与高中知识无缝衔接，又能让学生学会建立模型化的学习方法，有助于学生在高中阶段养成及时归纳学习方法的良好习惯。

3.顺延：驻足高中，回望初中，选点顺延。

高一新生在初中步入高中的过渡过程中，若过于远离初中的学习知识，会造成新生对初中知识掌握不够扎实，不利于高中加深难度的新知识的吸收；另一方面也不能在高一入学初的短时间内集中被灌输衔接教材，赶进度的结果可能导致与后续高中知识不连贯，学生的学习效果也将大打折扣。因此，需要我们研读高中教材，回顾初中知识，找到初中已学知识和高中新知识的结合点，从而完善学生某一知识系统的完整性，自然架构其联系。

案例5：一元二次不等式

初中已经学习了一元二次方程、一元二次函数，在高中学习一元二次不等式时可以从回顾初中的旧知识点引入，顺延新知识点。

1. ①解方程：x²－x－6=0；②作y=x²－x－6的简图，并写出y>0时x的取值范围；

2. 解不等式：①x²－x－6>0；②4x²＋4x＋1≥0；③-4x²-4x-1<0；

   第（1）题源自初中课本例题，第①题回顾初中的十字相乘法，第②题从十字相乘法的角度用“交点式”作二次函数图像，利用图像解出答案；第（2）①题比较与第（1）②题的联系，用数形结合思想渗透一元二次不等式的解法，同时建立“二次系统”间的联系，勾起学生对“一元二次”的回忆。第②、③题利用图像体会开口向下的转化，不等式无数解、无解以及临界情况的取舍，是高中的重点内容。这样设计可以让学生从原有的知识体系中顺势延续到新知识点。

   案例6：二次函数

   二次函数是贯穿初高中数学的重要函数之一，也是初高中数学衔接的典型知识点。但初高中阶段对二次函数的侧重点不同，因此在高中阶段，学生新学二次函数时可以顺势加以衔接。

   高中在教完二次函数单调性后会补充求不同区间上二次函数的最值问题，此时我们可以应用一个初中课本的习题作为引入：一边围墙，另三边用50米长的篱笆围成一个长方形场地，设垂直围墙的边长为x米，写出场地面积y与x的函数关系式并求出边长为多少时，面积最大。学生很容易就得到关系，但是容易忘了写上定义域。做适当提示后，引导学生抛开实际背景将定义域范围进行调整，如定义域分别为R、（-，0]、（-，15] 、[0,25]、[t，t+1]时来求最值。进而也可以将变式“y=x(2a-x)在x [0，2]时有最大值t，求a的范围及相应的t”此类问题编入拓展练习。教师讲完上述内容后再进行集合、函数的教学，逐步将学生引入高中数学新领地。

   与初中阶段的函数学习相比，高中阶段知识难度明显增加，更侧重函数性质的运用、体现函数的本质，因此学生在短时间内很难理解其抽象性。而通过上述这样的教学设置，从底起点起步，从高结点顺延，更容易让学生形成知识体系的整体认识，从而顺利达到初高中知识点衔接的目的。

   案例7：圆幂定理

   初高中教材都没有涉及圆幂定理的证明和总结。虽然初中阶段在总结与圆有关的相似时可以推导圆幂定理，但它们在中考范围内解题作用并不大。而这部分内容在高中阶段应用相对比较广泛。因此可以考虑在高中学习圆的章节前结合初中例题，总结定理，顺延知识。

3. 如图，⊙O中，弦CD过弦AB的中点P，PC=PD，BD=AB，CD=9cm，       

   求⊙O的半径.

4. 如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB于P，CD=8，AP：PB=1:4，

   求⊙O的半径.

   以上两题是初中比较常见的圆中比例线段的计算，使用圆幂定理解题就显得简洁方便。但这部分内容在初中阶段偏向于计算，并未引导学生在数学思维上展开相应的归纳与总结。由初中熟悉的例题作为引入，可引导学生用初中相似三角形的性质去总结圆幂定理，继而再引导学生将眼光顺延至高中阶段，如必修2中的圆与方程，选修2-1中的解析几何等内容都涉及圆幂定理，将从初中角度证得的圆幂定理运用在高中，使衔接自然延拓。

   总之，初高中数学衔接涉及多个方面，不仅仅是初高中数学知识内容的衔接，还需学生在学习方法、学习策略等方面的提升，更需要教师在教学过程中有针对性地设计衔接内容。本文通过梳理初高中数学课本对同一知识体系的不同要求，以“初中阶段顺学而导、高中阶段顺势而延”的思路为导向设计不同阶段衔接例题，思考和讨论合适的教学插入时机，目的是使学生更好地巩固初中阶段旧知识、吸收消化高中阶段新知识，帮助他们顺利衔接。